1.5 Teorema de De Moivre, Potencias y Extracción de Raíces de un Número Complejo.

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = re^iθ vienen dadas por

z = rⁿe^inθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zⁿ⁺¹ = zzⁿ cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z⁰ = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zⁿ en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zⁿ = (z^-1)^m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rⁿe^inθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z^-1 que

zⁿ = [1/r e^i(-θ)]^m = (1/r)^m e^{im(-θ) =} rⁿe^inθ

Por tanto, la ecuación z = rⁿe^inθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z = rⁿe^inθ se convierte en

(e^iθ)ⁿ = e^iθn           (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación

zⁿ = 1,

donde n tiene uno de los valores n = 2, 3, ..., hallando así las raíces n-ésimas de la unidad. Puesto que z ≠ 0, podemos escribir z = reⁱ⁰ y buscar valores de r y θ tales que

(re^iθ)ⁿ = 1,

o sea

rⁿe^inθ = 1eⁱ⁰.

Ahora bien

rⁿ = 1 y nθ = 0 + 2k∏,

donde k es cualquier entero (k = 0, ±1, ±2,...). Por tanto, r = 1 y θ = 2k∏/n; y se deduce que los números complejos

z = exp(i[2k∏ / n])      (k = 0, ±1, ±2,...)

son raíces n-ésimas de la unidad. Tal como aparecen aquí, en forma exponencial, se ve inmediatamente que están en el círculo unidad centrado en el origen y están uniformemente espaciados sobre él cada 2∏ / n radianes. Evidentemente, pues, todas las raíces n-ésimas de la unidad distintas entre sí se obtienen escribiendo

z = exp(i[2k∏ / n])  = cos 2k∏ / n + i sen 2k∏ / n    (k = 0, 1, 2,..., n-1)

y no se obtienen ya nuevas raíces con otros valores de k.

Así que el número de raíces n-ésimas de la unidad es n. Cuando n = 2, esas raíces son, claro está, ±1. Cuando n>= 3, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono está inscrito en el círculo unidad centrado en el origen y tiene un vértice en el punto correspondiente a la raíz z = 1 (k = 0). Si escribimos

ω_n = exp(i[2k∏ / n])

y entonces observamos que, de acuerdo con la propiedad (e^iθ)ⁿ = e^iθn           (n = 0, ±1, ±2 ...),

ω^k_n = exp(i[2k∏ / n])       (k = 0, 1, 2,..., n-1),

vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1, ω_n, ω²_n, ..., ω^n-1_n.

Tales raíces, que se obtienen resolviendo la ecuación

zⁿ = z₀

en z, son los números

c_k = ⁿ√r₀ exp[ i(θ₀ / n + 2k∏ / n)]      (k = 0, 1, ..., n -1)

donde ⁿ√r₀ denota la raíz n-ésima positiva de r₀. El número ⁿ√r₀ es la longitud de cada radio vector representante de las n raíces. Un argumento de la primera raíz c₀ es θ₀ / n, y los de las otras raíces se obtienen sumando múltiplos enteros de 2 ∏/n. Por consiguiente, al igual que ocurría con las raíces n-ésimas de la unidad, las raíces para n = 2 están siempre en extremos opuestos de un diámetro de un círculo, siendo una de ellas la negativa de la otra; y cuando n >= 3, están en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo de radio √r₀centrado en el origen.

Si c es cualquier raíz n-ésima particular de z₀, el conjunto de todas las raíces n-ésimas se puede expresar

c, cω_n, cω²_n, ..., cω^n-1_n

donde ω_n = exp (i2k∏ / n). Esto es así porque el producto de cualquier número complejo no nulo por ω_n corresponde a aumentar su argumento en 2∏ / n.

Denotaremos por z^1/n₀ el conjunto de raíces n-ésimas de un número complejo no nulo z₀. En particular, si z₀ es un número real positivo r₀, el símbolo r^1/n₀ denota un conjunto de raíces, y el símbolo ⁿ√r₀ se reserva para la raíz positiva. Cuando el valor de θ₀ que se usa en c_k = ⁿ√r₀ exp[ i(θ₀ / n + 2k∏ / n)]      (k = 0, 1, ..., n -1) es el valor principal de arg z₀ (-∏ < θ₀ <= ∏), el número c₀ se suele llamar la raíz n-ésima principal de z₀. Así pues, cuando z₀ es un número real positivo, su raíz principal es ⁿ√r₀.

Ruel V. Churchill/James Ward Brown; "Variable Compleja y Aplicaciones", Quinta Edición; McGraw-Hill; 1992.