2.1 Definición de matriz, notación y orden.

DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n. 

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... 

Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES 

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: 

=Matrices cuadradas =

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 

=Matriz identidad=

Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en loselementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, 

A· I = I ·A = A. 

=Matrices triangulares=

Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

=Matrices diagonales=

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo;

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

=Traspuesta de una matriz=

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT = (aTij) es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: 

(A + B)T = AT + BT. 

(AT)T = A. 

(kA)T = kAT (si k es un escalar). 

(AB)T = BTAT. 

=Matrices simétricas=

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A. 

Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

=Matrices ortogonales=

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

=Matrices normales=

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

=Matriz numérica=

Conjunto de números colocados en filas y en columnas.            

=Matriz de orden (m,n)=

Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

=Subíndices=

Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

=Orden de la matriz=

El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma: am,n es a2,3; m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

Autor: Ing. Jazmín Morales Ramon